f messbar -> |f| messbar < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $(X,A,\mu)$ [/mm] ein Maßraum und [mm] $f\colon X\to\mathbb{R}$ [/mm] meßbar.
Ist dann auch [mm] $\lvert f\rvert$ [/mm] meßbar? |
Nabend, meine Antwort ist ja:
Ich habe es versucht so zu beweisen. Kann man das so machen?
Es gilt [mm] $\left\{x: f(x)\in (-\infty,r]\right\}\in A~\forall r\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Dann:
[mm] $\left\{x: \lvert f(x)\rvert\in (-\infty,r]\right\}=\left\{x: \lvert f(x)\rvert\in [0,r]\right\}\subseteq\left\{x: f(x)\in [-r,r]\right\}\subseteq\left\{x: f(x)\in (-\infty,r]\right\}\in A~\forall r\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Kann man das so machen oder stimmt da was nicht?
Schöne Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sick_of_math,
> Sei [mm](X,A,\mu)[/mm] ein Maßraum und [mm]f\colon X\to\mathbb{R}[/mm]
> meßbar.
>
> Ist dann auch [mm]\lvert f\rvert[/mm] meßbar?
> Nabend, meine Antwort ist ja:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es gilt [mm]\left\{x: f(x)\in (-\infty,r]\right\}\in A~\forall r\in\mathbb{R}[/mm].
Ja.
> Dann:
>
(Hier gilt sogar Gleichheit:)
> [mm]\left\{x: \lvert f(x)\rvert\in (-\infty,r]\right\}=\left\{x: \lvert f(x)\rvert\in [0,r]\right\}\subseteq\left\{x: f(x)\in [-r,r]\right\}[/mm]
> [mm]\subseteq\left\{x: f(x)\in (-\infty,r]\right\}\in A~\forall r\in\mathbb{R}[/mm].
> Kann man das so machen oder stimmt da was nicht?
Alles, was du gemacht hast, kann man so machen. Nur folgt leider nicht wie gewünscht
[mm] $\left\{x: \lvert f(x)\rvert\in (-\infty,r]\right\}\in [/mm] A$ für alle [mm] $r\in\IR$
[/mm]
aus deinen Überlegungen. Du hast also noch nicht bewiesen, dass $|f|$ messbar ist.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo, wieso folgt das daraus nicht?
Weil eine Teilmenge einer messbaren Menge nicht zwangsläufig selbst auch messbar sein muss?
Wie kann ich dann die Messbarkeit direkt zeigen?
(Deinen Beweis mit der Komposition habe ich gesehen, aber ich würde auch gerne wissen, wie man das mit den Urbildern der links halboffenen Intervalle zeigen kann.)
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Hallo, wieso folgt das daraus nicht?
> Weil eine Teilmenge einer messbaren Menge nicht
> zwangsläufig selbst auch messbar sein muss?
Genau.
> Wie kann ich dann die Messbarkeit direkt zeigen?
> (Deinen Beweis mit der Komposition habe ich gesehen, aber
> ich würde auch gerne wissen, wie man das mit den Urbildern
> der links halboffenen Intervalle zeigen kann.)
Behalte deinen Ansatz bei, nur arbeite mit "=-Umformungen" statt [mm] "$\subseteq$-Umformungen".
[/mm]
Tipp: Es gilt
[mm] $[-r,r]=((-\infty,r]^c\cup(-\infty,-r))^c$
[/mm]
und
[mm] $(-\infty,-r)=\bigcup_{n\in\IN\setminus\{0\}}(-\infty,-r-\bruch1n]$
[/mm]
für alle [mm] $r\in\IR$.
[/mm]
Noch schneller geht es natürlich, wenn du schon weißt, dass $[-r,r]$ messbar bezüglich der Borelschen Sigma-Algebra ist und somit wegen der Messbarkeit von $f$ die Aussage [mm] $f^{-1}([-r,r])\in [/mm] A$ gilt.
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Achso... also ich hab es jetzt so gemacht:
[mm] $\left\{x\in X: \lvert f(x)\rvert\in (-\infty,r]\right\}=\left\{x\in X: \lvert f(x)\rvert\in [0,r]\right\}=\left\{x\in X: f(x)\in [-r,r]\right\}=f^{-1}([-r,r])\in A~\forall r\in\mathbb{R}$,
[/mm]
denn
[mm] $[-r,r]=((-\infty,-r)\cup (r,\infty))^C$ [/mm] ist Borelmenge, denn offene Intervalle sind Borelmengen und [mm] $(-\infty,-r)\cup (r,\infty)$ [/mm] ist offen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\left\{x\in X: \lvert f(x)\rvert\in (-\infty,r]\right\}=\left\{x\in X: \lvert f(x)\rvert\in [0,r]\right\}=\left\{x\in X: f(x)\in [-r,r]\right\}=f^{-1}([-r,r])\in A~\forall r\in\mathbb{R}[/mm],
>
> denn
>
> [mm][-r,r]=((-\infty,-r)\cup (r,\infty))^C[/mm] ist Borelmenge, denn
> offene Intervalle
"offene Mengen" meinst du hier (denn [mm] $(-\infty,-r)\cup (r,\infty)$ [/mm] ist für [mm] $r\ge0$ [/mm] kein Intervall)
> sind Borelmengen und [mm](-\infty,-r)\cup (r,\infty)[/mm]
> ist offen.
>
>
> oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Alternativ zum direkten Verifizieren der Messbarkeit von $|f|$ ist auch folgendes Vorgehen möglich:
Stetige Funktionen [mm] $g\colon\IR\to\IR$ [/mm] sind stets messbar bezüglich der Borelschen Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{B}$.
[/mm]
(Denn es genügt, [mm] $g^{-1}(U)\in\mathcal{B}$ [/mm] für alle [mm] $U\in\mathcal{E}$ [/mm] für einen Erzeuger [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] zu zeigen. Wir betrachten speziell den Erzeuger [mm] $\mathcal{E}:=\{U\subseteq\IR\;|\;U \text{ offen in }\IR\}$. [/mm] Für alle [mm] $U\in\mathcal{E}$ [/mm] gilt wegen der Stetigkeit von $g$ die Aussage [mm] $g^{-1}(U)\in\mathcal{E}\subseteq\mathcal{B}$.)
[/mm]
Insbesondere ist die Betragsfunktion [mm] $|*|\colon\IR\to\IR$ [/mm] messbar.
Also ist [mm] $|f|=|*|\circ [/mm] f$ messbar als Komposition messbarer Funktionen.
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Hallo,
Ich habe Tobit's Antworten nicht genau gelesen aber sehr rasch geht sowas auch mit:
f ist eine beliebige messbare Fkt f: X [mm] \to \IR.
[/mm]
wobei [mm] f^{+} [/mm] := f [mm] \vee [/mm] 0 nd [mm] f^{-} [/mm] := (-f) [mm] \vee [/mm] 0 als pos und neg. Teil bezeichnet werden.
Klarerweise ist: f = [mm] f^{+} [/mm] - [mm] f^{-} [/mm] und mit f sind auch [mm] f^{+} [/mm] und [mm] f^{-} [/mm] messbar.
somit auch : |f| = [mm] f^{+} [/mm] + [mm] f^{-}.
[/mm]
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas_Aut,
> f ist eine beliebige messbare Fkt.
>
> wobei [mm]f^{+}[/mm] := f [mm]\vee[/mm] 0 nd [mm]f^{-}[/mm] := (-f) [mm]\vee[/mm] 0 als pos
> und neg. Teil bezeichnet werden.
> Klarerweise ist: f = [mm]f^{+}[/mm] - [mm]f^{-}[/mm] und mit f sind auch
> [mm]f^{+}[/mm] und [mm]f^{-}[/mm] messbar.
Warum sind [mm] $f^{+}$ [/mm] und [mm] $f^{-}$ [/mm] messbar? Mir erscheint es so, als sei der Nachweis nicht viel weniger aufwendig als der Nachweis der Messbarkeit von $|f|$.
> somit auch : |f| = [mm]f^{+}[/mm] + [mm]f^{-}.[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Sa 14.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo Tobias,
> Hallo Thomas_Aut,
>
>
> > f ist eine beliebige messbare Fkt.
> >
> > wobei [mm]f^{+}[/mm] := f [mm]\vee[/mm] 0 nd [mm]f^{-}[/mm] := (-f) [mm]\vee[/mm] 0 als pos
> > und neg. Teil bezeichnet werden.
> > Klarerweise ist: f = [mm]f^{+}[/mm] - [mm]f^{-}[/mm] und mit f sind auch
> > [mm]f^{+}[/mm] und [mm]f^{-}[/mm] messbar.
> Warum sind [mm]f^{+}[/mm] und [mm]f^{-}[/mm] messbar? Mir erscheint es so,
> als sei der Nachweis nicht viel weniger aufwendig als der
> Nachweis der Messbarkeit von [mm]|f|[/mm].
Da hast du Recht- wäre ähnlich aufwendig. Die Bezeichnung "alternativer Weg" trifft es besser.
>
> > somit auch : |f| = [mm]f^{+}[/mm] + [mm]f^{-}.[/mm]
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Beste Grüße
Thomas
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